Binomial Option Pricing Vba Code

Binomial Tree for Pricing Opções Americanas Esta planilha Excel apresenta uma opção americana com uma Árvore Binomial. A planilha também gera a estrutura de preços, que pode ser visualizada. As opções americanas permitem que o titular exerça um contrato de opção em qualquer momento antes do termo de vigência. As opções europeias, na mão, só podem ser exercidas no prazo de validade. Isso significa que, para qualquer situação, as opções americanas exigem um preço maior do que as opções européias devido à maior flexibilidade. Ao contrário das posições européias, as posições americanas não podem ser avaliadas analiticamente. Portanto, devem ser utilizadas técnicas numéricas (como a simulação de monte-carlo, o método das linhas, o modelo de Bjerksun-Stensland ou binomiais). Este artigo. Por exemplo, descreve um novo método de Monte-Carlo para classificar as opções americanas. As árvores binomiais dividem o tempo (da atualidade até a maturidade) em um grande número de fatias. Em cada estágio, o preço das ações pode aumentar (com probabilidade p) ou diminuir (com probabilidade 1-p) de valor. As chamadas e colocações são avaliadas por retrocesso no tempo (isto é chamado de indução para trás). Este método fornece o preço de uma opção em múltiplos momentos (e não apenas no prazo de validade, como no modelo padrão Black-Scholes). As árvores binomiais são, portanto, particularmente úteis para opções americanas, que podem ser exercidas em qualquer momento antes do prazo de validade. Além disso, as árvores binomiais podem ajudar os analistas a decidir quando melhor exercer uma opção americana porque a variação no preço da opção é fornecida ao longo do tempo. Preço de uma opção americana com uma árvore binomial A planilha do Excel é simples de usar. Basta inserir seus parâmetros e, em seguida, clique no botão Draw Lattice. O preço da opção é fornecido na caixa Resultados. Além disso, alguns VBA inteligentes desenharão a rede binomial na folha Lattice. A teoria por trás das árvores binomiais, e sua implementação no Excel, são descritas em maior detalhe neste tutorial. A planilha usa o método Cox-Ross-Rubinstein. Se você quiser acessar o VBA usado para gerar a rede binomial, use a opção Comprar desbloqueado Planilha. 8 pensamentos sobre ldquo Binomial Tree for Pricing American Options rdquo Oi, eu gostaria de saber se seria possível ter o código VBA para a árvore binomial para avaliar as opções americanas e a folha da planilha do Excel para avaliar opções americanas com o Barone - Adesi amp Whaley e Ju amp Zhong aproximações. Obrigado pela ajuda. Tudo o que você está fazendo é muito útil. Eugene Ong diz: oi, sua rede parece ótimo. Agradeceria se eu pudesse ter acesso aos códigos VBA. Muito obrigado, gosto da Base de Conhecimento Master do Spreadsheets grátis. Postagens recentes. Tarefas e planilhas de preços da opção binomial. Este tutorial apresenta o preço da opção binomial e oferece uma planilha do Excel para ajudá-lo a entender melhor os princípios. Além disso, é fornecida uma planilha que fornece opções de baunilha e exóticas com uma árvore binomial. Desloque-se até o final deste artigo para baixar as planilhas, mas leia o tutorial se quiser inclinar os princípios por trás do preço da opção binomial. O preço da opção binomial baseia-se em uma hipótese sem arbitragem e é um método matematicamente simples, mas surpreendentemente poderoso, para preço de opções. Ao invés de confiar na solução para equações diferenciais estocásticas (que muitas vezes é complexa de implementar), o preço da opção binomial é relativamente simples de implementar no Excel e é facilmente compreendido. Sem arbitragem significa que os mercados são eficientes, e os investimentos ganham a taxa de retorno livre de risco. Árvores binomiais são freqüentemente usadas para preço de opções de venda americanas. Para o qual (ao contrário das opções de colocação européias) não existe uma solução analítica fechada. Árvore de preços para ativos subjacentes Considere um estoque (com um preço inicial de S 0) passando por uma caminhada aleatória. Ao longo de um passo de tempo t, o estoque tem uma probabilidade p de aumentar por um fator u, e uma probabilidade de 1 p de cair no preço por um fator d. Isto é ilustrado pelo seguinte diagrama. Cox, Ross e Rubenstein Modelo Cox, Ross e Rubenstein (CRR) sugeriram um método para calcular p, u e d. Existem outros métodos (como os modelos Jarrow-Rudd ou Tian), mas a abordagem CRR é a mais popular. Durante um pequeno período de tempo, o modelo binomial atua de forma semelhante a um ativo que existe em um mundo neutro em termos de risco. Isso resulta na seguinte equação, o que implica que o retorno efetivo do modelo binomial (no lado direito) é igual à taxa livre de risco. Além disso, a variância de um ativo neutro em risco e um ativo em um risco neutro Jogo mundial. Isso dá a seguinte equação. O modelo CRR sugere a seguinte relação entre os fatores reversíveis e negativos. Reorganizando estas equações dá as seguintes equações para p, u e d. Os valores de p, u e d fornecidos pelo modelo CRR significam que o preço inicial do ativo inicial é simétrico para um modelo binomial de várias etapas. Modelo binomial em duas etapas Esta é uma rede bidimensional binomial. Em cada estágio, o preço das ações subiu por um fator u ou baixo por um fator d. Observe que no segundo passo, existem dois preços possíveis, você é S 0 e d u S 0. Se estes forem iguais, diz-se que a rede está a ser recombinada. Se eles não são iguais, diz-se que a rede não é recombinante. O modelo CRR garante uma rede recombinante a suposição de que u 1d significa que você é S 0 d u S 0 S 0. E que a rede é simétrica. Modelo Binomial Multi-Step O modelo binomial de várias etapas é uma extensão simples dos princípios dados no modelo binomial de duas etapas. Nós simplesmente avançamos no tempo, aumentando ou diminuindo o preço das ações por um fator u ou d a cada vez. Cada ponto na rede é chamado de nó e define um preço de ativos em cada ponto no tempo. Na realidade, muitas outras etapas são geralmente calculadas do que as três ilustradas acima, muitas vezes milhares. Pagamentos para preço de opção Consideraremos as seguintes funções de recompensa. V N é o preço da opção no nó de expiração N, X é o preço de greve ou exercício, S N é o preço da ação no nó de expiração N. Agora, devemos descontar as recompensas de volta a hoje. Isso envolve retroceder através da rede, calculando o preço da opção em todos os pontos. Isso é feito com uma equação que varia com o tipo de opção em consideração. Por exemplo, as opções européias e americanas são preços com as equações abaixo. N é um nó antes do prazo de validade. Preço da opção Binomial no Excel Esta planilha do Excel implementa uma estrutura de preços binomial para calcular o preço de uma opção. Basta inserir alguns parâmetros como indicado abaixo. O Excel gerará a rede binomial para você. A planilha é anotada para melhorar sua compreensão. Observe que o preço das ações é calculado no tempo. No entanto, o preço da opção é calculado para trás a partir do tempo de expiração até hoje (isto é conhecido como indução para trás). A planilha também compara o preço Put e Call fornecido pela rede de preços da opção binomial com a dada pela solução analítica da equação de Black-Scholes para muitos passos de tempo na rede, os dois preços convergem. Se você tiver dúvidas ou comentários sobre este tutorial de preços da opção binomial ou a planilha, então me avise. Preço Vanilla e Opções Exóticas com Árvore Binomial no Excel Esta planilha Excel apresenta vários tipos de opções (European. American. Shout. Chooser. Compound) com uma árvore binomial. A planilha também calcula os gregos (Delta, Gamma e Theta). O número de etapas de tempo é facilmente variável. A convergência de 8211 é rápida. Os algoritmos estão escritos em VBA protegido por senha. Se you8217d gostaria de ver e editar a VBA, compre a planilha desprotegida em investexcelbuy-planilhas. 22 pensamentos sobre ldquo Binomial Option Pricing Tutorial e Folhas de cálculo rdquo Oi, eu queria saber se você possui planilhas que calculam o preço de uma opção usando o modelo de preço da opção binomial (CRR) (incluindo o rendimento de dividendos) .. e depois uma comparação contra o preto O preço de escolhas (para as mesmas variáveis) pode ser mostrado em um gráfico (mostrando a convergência) I8217ve hackeou esta planilha. Ele compara os preços das opções européias dadas por equações analíticas e uma árvore binomial. Você pode alterar o número de etapas binomiais para comparar a convergência com a solução analítica. Oi, o modelo funciona perfeitamente quando o preço do exercício está próximo do preço das ações e o tempo até a maturidade é próximo ao número de etapas. Novato I8217m em modelos binomiais e experimentou mudando o preço do exercício e o número de etapas substancialmente. Se eu tiver um preço de faturamento fora do dinheiro. O valor do modelo binomial aproxima Zero enquanto o valor BampS é mais 8220resistant8221. Se eu diminuir o número de passos para 1, o valor dos modelos Binomial aumenta drasticamente, enquanto o valor BampS permanece o mesmo. Existe algo que você pode dizer sobre as limitações relativas ao modelo Binomial. Quando usar e não usar. John Slice diz: você possui planilhas de uma árvore binomial com um estoque que paga dividendos trimestrais que eu consigo achar descobrir como lidar com isso. Existem várias maneiras de abordar isso. A melhor maneira é usar um modelo de dividendo discreto e inserir a data real de pagamento do dividendo. Ainda não vi um modelo adequado no investexcel. No lugar disso, simplesmente determine o valor total em dólares de todos os dividendos trimestrais pagos entre Time0 e vencimento. Pegue esse número, divida pelo preço atual das ações para obter o rendimento de dividendos. Use este rendimento nos modelos fornecidos pela Samir. A maior imprecisão virá de um mispricing do premium americano, uma vez que um grande dividendo pago amanhã vs o mesmo dividendo pago um dia antes da expiração terá efeitos diferentes no prémio americano. Eu percebi isso agora. Eu só tive que adicionar mais passos para o modelo. Isso funciona bem agora. Obrigado por um modelo explicativo e relativamente simples. Oi, você pode me indicar informações sobre como calcular os gregos dessas opções usando o modelo binomial, eu sei como fazê-lo para Black-Scholes, mas não para opções americanas. Obrigado por qualquer ajuda que você possa me dar, e excelente trabalho na sua planilha. Antes de tudo, quero agradecer por publicar isso, particularmente a planilha do Excel que mostra a árvore do preço binomial com ilustrações de guias. Extremamente útil. Em segundo lugar, eu brinquei com esse arquivo, e acredito que descobri um pequeno busto na planilha. Ao tentar descobrir como a equação de preço da opção de venda funciona na célula E9, notei que a fórmula faz referência a B12 (nSteps), mas tenho certeza de que é suposto fazer referência a B11 (TimeToMaturity). Parece-me que a lógica dessa fórmula é que o preço da opção de venda é conduzido pelo preço de comprar a chamada e vender o estoque subjacente (criando uma venda sintética, estabelecendo dividendos para esse fim) e, em seguida, ajustando Esse valor, descontando a futura greve da colocação por r por períodos t, que eu vagamente parece lembrar, está ajustando a taxa de retorno imputada sobre o excesso de caixa da venda de ações. Em qualquer caso, nSteps em princípio não deveria entrar em jogo aqui. D, eu vi o mesmo sobre colocar preços também. Eu acho que estava tentando usar a paridade de chamada de chamada1, mas como você observa isso usando a variável errada. A fórmula deve ser: E8StrikePriceEXP (-RiskFreeRateTimeToMaturity) - SpotPrice Além disso, acho que há um erro na célula 8220up probabilidade8221 também. Você precisa subtrair o rendimento de dividendos da taxa de juros, então a fórmula deve ser: (EXP ((B9-B13) B16) - B18) (B17-B18) Obrigado pela planilha Eu gostei do seu modelo binografico binário binário. Estou usando o modelo para prever os preços do ouro para uma vida de mina de 20 anos. Como faço para obter apenas a previsão de preços, em vez de desconto, como muitas vezes feito. Ansioso pela sua ajuda e eu vou reconhecê-lo no meu trabalho de tese Hey Samir, posso fazer apenas 5 passos com o modelo Será possível adicionar mais passos Obrigado e melhores cumprimentos Peet PS É a fórmula já ajustada conforme proposto por D e Ben West Like the Free Spreadsheets Master Knowledge Base Posts recentesNeste exemplo, derivamos o preço da opção de chamada e colocação usando o modelo binomial, também conhecido como modelo de opção Cox-Ross-Rubinstein. Os resultados são mostrados em um formato semelhante ao usado para o exemplo 6. Observe que a distribuição binomial ficará normal quando o número de etapas (n) se tornar grande. Assim, quando n aumenta, os preços das opções de compra e venda estimados a partir do modelo binomial se aproximam dos preços estimados a partir do modelo Black-Scholes. Este fenômeno é mostrado na Figura 1. Por exemplo, os preços das opções estimados usando o modelo binomial com 1.000 passos (nas células K13..K14) são equivalentes (para 3 casas decimais) aos preços estimados a partir do modelo Black-Scholes em células H23..H24. Função BiCallEur (s, x, t, r, sd, n como Inteiro) Dim sdd As Single Dim j Como Integer Dim rr As Single Dim q Como Single Dim u Como Single Dim d Como Single Dim bicomp As Single Dim sumbi As Single Dim Nj Como Double Dim firstBicomp As Single rr Exp (r (tn)) - 1 sdd sd Sqr (tn) u Exp (rr sdd) d Exp (rr - sdd) q (1 rr - d) (u - d) Para j 0 para n nj binoCoeff (n, j) bicomp nj (qj) ((1 - q) (n - j)) (s (uj) (d (n - j)) - x) Se bicomp lt 0 Então bicomp 0 Sumbi sumbi bicomp Próximo j BiCallEur sumbi ((1 rr) n) Função BiPutEur (s, x, t, r, sd, n como Inteiro) Dim sdd As Single Dim j Como Inteiro Dim rr As Single Dim q Como Single Dim u As Single Dim d As Single Dim bicomp As Single Dim sumbi As Single Dim nj As Double Dim firstBicomp As Single rr Exp (r (tn)) - 1 sdd sd Sqr (tn) u Exp (rr sdd) d Exp (rr - sdd) Q (1 rr - d) (u - d) Para j 0 Para n nj binoCoeff (n, j) bicomp nj (qj) ((1 - q) (n - j)) (x - (s (uj) ( D (n - j)))) se bicomp lt 0 Então bicomp 0 sumbi s Umbi bicomp Próximo j BiPutEur sumbi ((1 rr) n) Função binoCoeff (n, j) Dim i As Integer Dim b Como Double b 1 Para i 0 Para j - 1 bb (n - i) (j - i) Próximo i BinoCoeff bExemplo para entender o modelo de preço da opção Binomial É bastante desafiador concordar com o preço exato de qualquer bem negociável, mesmo hoje em dia. É por isso que os preços das ações continuam mudando constantemente. Na realidade, a empresa quase não altera sua avaliação no dia-a-dia, mas o preço das ações e sua valoração mudam a cada segundo. Isso mostra dificilmente chegar a um consenso sobre o preço atual de qualquer bem negociável, o que leva a oportunidades de arbitragem. No entanto, essas oportunidades de arbitragem são realmente de curta duração. Tudo se resume à avaliação do dia atual, o que é o preço atual atual hoje para uma recompensa futura esperada. Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, os ativos com estruturas de recompensa idênticas devem ter o mesmo preço. A avaliação das opções tem sido uma tarefa desafiadora e observam-se altas variações nos preços, levando a oportunidades de arbitragem. Black-Scholes continua a ser um dos modelos mais populares utilizados para opções de preços. Mas tem suas próprias limitações. (Para obter mais informações, consulte: Preço das opções). O modelo de preço da opção Binomial é outro método popular usado para opções de preços. Este artigo discute alguns exemplos abrangentes passo a passo e explica o conceito subjacente de risco neutro na aplicação deste modelo. (Para leitura relacionada, consulte: Rompendo o modelo binomial para valorizar uma opção). Este artigo assume a familiaridade do usuário com opções e conceitos e termos relacionados. Suponha que exista uma opção de compra em uma ação específica cujo preço de mercado atual seja 100. A opção ATM tem um preço de exercício de 100 com prazo até ao final de um ano. Existem dois comerciantes, Peter e Paul, que ambos concordam que o preço das ações aumentará para 110 ou cai para 90 em um ano. Ambos concordam com os níveis de preços esperados em um determinado período de tempo de um ano, mas discordam da probabilidade de mover para cima (e mover para baixo). Peter acredita que a probabilidade de o preço das ações chegar a 110 é de 60, enquanto Paulo acredita que é 40. Com base no acima, quem estaria disposto a pagar mais preço pela opção de compra Possivelmente Peter, como ele espera uma alta probabilidade do movimento para cima. Vamos ver os cálculos para verificar e entender isso. Os dois ativos nos quais a avaliação depende são a opção de compra e o estoque subjacente. Existe um acordo entre os participantes de que o preço das ações subjacentes pode passar dos atuais 100 para 110 ou 90 em um ano, e não há outros movimentos de preços possíveis. Em um mundo livre de arbitragem, se devemos criar um portfólio composto por esses dois ativos (opção de compra e ações subjacentes), de modo que, independentemente de onde o preço subjacente seja (110 ou 90), o retorno líquido da carteira permanece sempre o mesmo . Suponhamos que nós compramos ações d da opção de chamada subjacente e curta para criar esse portfólio. Se o preço for de 110, nossas ações valerão 110d e bem perderão 10 em curto retorno de chamadas. O valor líquido de nossa carteira será (110d 10). Se o preço cair para 90, nossas ações valerão 90d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido de nossa carteira será (90d). Se queremos que o valor de nossa carteira permaneça o mesmo, independentemente de onde quer que o preço das ações subjacentes, o nosso valor de carteira deve permanecer o mesmo em ambos os casos, ou seja: gt (110d 10) 90d, ou seja, se comprarmos metade do compartilhamento ( Assumindo que as compras fraccionadas são possíveis), conseguiremos criar um portfólio de modo que seu valor permaneça o mesmo em ambos os estados possíveis dentro do prazo determinado de um ano. (Ponto 1) Este valor de carteira, indicado por (90d) ou (110d -10) 45, é um ano abaixo da linha. Para calcular o valor presente. Pode ser descontado por taxa de retorno livre de risco (assumindo 5). Gt 90d exp (-51 ano) 45 0.9523 42.85 gt Valor presente da carteira Como atualmente, a carteira é composta por ação do estoque subjacente (com preço de mercado 100) e 1 chamada curta, deve ser igual ao valor presente calculado acima Ou seja, gt 12100 Preço 1call 42.85 gt Preço de chamada 7.14, ou seja, o preço da chamada a partir de hoje. Uma vez que isso se baseia na suposição acima de que o valor do portfólio permanece o mesmo, independentemente de qual o preço subjacente (ponto 1 acima), a probabilidade de mover para cima ou para baixo não desempenha qualquer função aqui. O portfólio permanece livre de riscos, independentemente dos movimentos de preços subjacentes. Em ambos os casos (assumido como sendo o movimento para 110 e para baixo para 90), nosso portfólio é neutro para o risco e ganha a taxa de retorno livre de risco. Portanto, ambos os comerciantes, Peter e Paul, estarão dispostos a pagar o mesmo 7.14 para esta opção de chamada, independentemente de suas próprias percepções diferentes das probabilidades de movimentos ascendentes (60 e 40). Suas probabilidades percebidas individualmente não desempenham nenhum papel na avaliação de opções, como se vê a partir do exemplo acima. Se suponha que as probabilidades individuais sejam importantes, haveria oportunidades de arbitragem existentes. No mundo real, tais oportunidades de arbitragem existem com menores diferenciais de preços e desaparecem em curto prazo. Mas, onde é a volatilidade muito alta em todos esses cálculos, que é um fator importante (e mais sensível) que afeta o preço das opções. A volatilidade já está incluída na natureza da definição do problema. Lembre-se de que estamos assumindo dois (e apenas dois - e, portanto, o nome binomial) dos níveis de preços (110 e 90). A volatilidade está implícita nessa suposição e, portanto, incluída automaticamente 10 de qualquer maneira (neste exemplo). Agora, vamos fazer uma verificação de sanidade para ver se a nossa abordagem é correta e coerente com os preços de Black-Scholes comumente usados. (Veja: O modelo de avaliação da opção Black-Scholes). Aqui estão as capturas de tela dos resultados das calculadoras das opções (cortesia da OIC), que combina de perto com nosso valor calculado. Infelizmente, o mundo real não é tão simples como apenas dois estados. Existem vários níveis de preços que podem ser alcançados pelo estoque até o momento de expirar. É possível incluir todos esses níveis múltiplos em nosso modelo de precificação binomial, que é restrito a apenas dois níveis. Sim, é muito possível, e para entendê-lo, vamos entrar em alguma matemática simples. Alguns passos de cálculo intermediários são ignorados para mantê-lo resumido e focado nos resultados. Para prosseguir, generalizamos esse problema e solução: X é o preço de mercado atual do estoque e Xu e Xd são os preços futuros para movimentos para cima e para baixo nos anos seguintes. Factor você será maior do que 1, pois indica o movimento e d irá encontrar-se entre 0 e 1. Para o exemplo acima, u1.1 e d0.9. As recompensas da opção de chamada são P up e P dn para movimentos para cima e para baixo, no momento do caducidade. Se nós construímos um portfólio de ações de s compradas hoje e curta uma opção de chamada, então, após o tempo t: Valor da carteira em caso de movimento ascendente SXu P up Valor da carteira em caso de queda do movimento sXd P dn Para avaliação semelhante em ambos os casos de Movimento de preço, gt s (P up - P dn) (X (ud)) no. De ações para comprar para portfólio livre de risco O valor futuro da carteira no final de anos será o valor atual de acima pode ser obtido descontando-o com taxa de retorno livre de risco: Isso deve corresponder à participação de carteira de ações s em X preço e valor de chamada curto c, ou seja, a manutenção atual de (s X-c) deve ser igual à acima. Resolver para c finalmente dá c como: SE CURRIR O PRIMEIRO DE CHAMADAS DEVEM SER ADICIONADOS À PORTFOLIO NÃO SUBTRAÇÃO. Outra maneira de escrever a equação acima é reorganizando-a da seguinte forma: então a equação acima se torna Reorganizando a equação em termos de q ofereceu uma nova perspectiva. Q agora pode ser interpretado como a probabilidade do movimento ascendente do subjacente (como q está associado com P up e 1-q está associado a P dn). Em geral, a equação acima representa o preço atual da opção, ou seja, o valor descontado da sua recompensa no vencimento. Como é esta probabilidade q diferente da probabilidade de mover ou mover para baixo do subjacente O valor do preço da ação no tempo tq Xu (1-q) Xd Substituindo o valor de q e reorganizando, o preço da ação no tempo t vem Neste mundo assumido de dois estados, o preço do estoque simplesmente aumenta pela taxa de retorno livre de risco, ou seja, exatamente como um recurso livre de risco e, portanto, permanece independente de qualquer risco. Todos os investidores são indiferentes ao risco sob este modelo, e isso constitui o modelo neutro de risco. A probabilidade q e (1-q) são conhecidas como probabilidades de risco neutro e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação de risco neutro. O exemplo acima tem um requisito importante: a estrutura de recompensa futura é necessária com precisão (nível 110 e 90). Na vida real, tal clareza sobre os níveis de preços baseados em etapas não é possível, em vez disso, o preço se move aleatoriamente e pode se estabelecer em vários níveis. Vamos ampliar o exemplo. Suponha que os níveis de preços em duas etapas são possíveis. Conhecemos os resultados finais da segunda etapa e precisamos valorar a opção hoje (ou seja, na etapa inicial). Trabalhando para trás, a avaliação do primeiro passo intermediário (em t1) pode ser feita usando os ganhos finais no segundo passo (t2) e, em seguida, usando estes Avaliação calculada do primeiro passo (t1), a avaliação atual (t0) pode ser alcançada usando os cálculos acima. Para obter o preço da opção no nº. 2, recompensas em 4 e 5 são usadas. Para obter preços para o número. 3, recompensas em 5 e 6 são usadas. Finalmente, os pagamentos calculados às 2 e 3 são usados ​​para obter preços no nº. 1. Por favor, note que nosso exemplo assume o mesmo fator para mover para cima (e para baixo) em ambos os passos - u (e d) são aplicados de forma combinada. Aqui está um exemplo de trabalho com cálculos: suponha uma opção de venda com preço de exercício 110 atualmente comercializado em 100 e expirando em um ano. A taxa livre de risco anual é de 5. O preço deverá aumentar 20 e diminuir 15 a cada seis meses. Vamos estruturar o problema: Aqui, u1.2 e d 0.85, X100, t 0.5 valor da opção de colocação no ponto 2, Na condição de up de P, subjacente será 1001.21.2 144 levando a P upup zero Na condição de P updn, subjacente Seja 1001.20.85 102 levando a P updn 8 Na condição P dndn, o subjacente será 1000.850.85 72.25 levando a P dndn 37.75 p 2 0.975309912 (0.358028320 (1-0.35802832) 8) 5.008970741 De forma semelhante, p 3 0.975309912 (0.358028328 (1- 0.35802832) 37.75) 26.42958924 E, portanto, valor de opção de venda, p 1 0.975309912 (0.358028325.008970741 (1-0.35802832) 26.42958924) 18.29. Da mesma forma, os modelos binomiais permitem quebrar a duração da opção inteira para refinar múltiplos níveis de etapas. Usando programas de computador ou planilhas pode-se trabalhar para trás um passo de cada vez, para obter o valor presente da opção desejada. Concluir com mais um exemplo envolvendo três etapas para a avaliação da opção binomial: Assuma uma opção de venda de tipo europeu, com um prazo de vencimento de 9 meses com preço de exercício de 12 e preço subjacente atual em 10. Aceite taxa livre de risco de 5 para todos os períodos. Assuma cada 3 meses, o preço subjacente pode mover-se 20 para cima ou para baixo, dando-nos u1.2, d0.8, t0.25 e árvore binomial de 3 etapas. Os números em vermelho indicam os preços subjacentes, enquanto os que estão em azul indicam a opção de recompensa da venda. Probabilidade neutra de risco q calcula para 0,531446. Usando o valor acima de q e os valores de recompensa em t9 meses, os valores correspondentes em t6 meses são calculados como: Além disso, usando esses valores calculados em t6, os valores em t3 e, em seguida, em t0 são: dando o valor atual da opção put como 2.18, o que é bastante próximo do calculado utilizando o modelo Black-Scholes (2.3). Embora o uso de programas de computador facilite muito esses cálculos intensivos, a previsão de preços futuros continua a ser uma grande limitação de modelos binomiais para preços de opções. Quanto mais finos os intervalos de tempo, mais difícil consegue prever com precisão os retornos no final de cada período. No entanto, a flexibilidade para incorporar mudanças como esperado em diferentes períodos de tempo é uma vantagem acrescida, o que torna adequado para o preço das opções americanas. Incluindo avaliações de exercícios iniciais. Os valores calculados usando o modelo binomial correspondem intimamente aos calculados a partir de outros modelos comumente usados, como o Black-Scholes, que indica a utilidade e a precisão dos modelos binomiais para o preço das opções. Os modelos de preços binomiais podem ser desenvolvidos de acordo com uma preferência de comerciantes e funcionam como uma alternativa a Black-Scholes.